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Paulimatriser مصفوفات باولي Матриці Паулі Macierze Pauliego Matrices de Pauli Matrius de Pauli Matrizes de Pauli Matricoj de Pauli Pauli-spinmatrix 泡利矩陣 Матрицы Паули Pauli-Matrizen Pauli matrices Matrices de Pauli パウリ行列 Matrici di Pauli 파울리 행렬 Pauliho matice

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في الفيزياء الرياضية والرياضيات، مصفوفات باولي هي مجموعة ثلاث مصفوفات (2×2) هيرميتية عقدية. وضعها باولي ولها تطبيقات عديدة ضمن ميكانيكا الكم. المصفوفات هي كالتالي : غالبا ما يتم إضافة مصفوفة رابعة : Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes : (où i est l’unité imaginaire des nombres complexes). Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli. Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar: Nesou jméno Wolfganga Pauliho. In meccanica quantistica le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca (sigma), esse possono anche essere indicate con (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Wolfgang Pauli e sono così definite: パウリ行列（パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。 添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。 上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。 In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices which are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex 2-dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, σk represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three-dimensional Euclidean space Les matrius de Pauli deuen el seu nom a Wolfgang Ernst Pauli. Són matrius usades en física quàntica en el context del moment angular intrínsec o espín.Matemàticament, les matrius de Pauli constitueixen una base vectorial de l'àlgebra de Lie del grup especial unitari SU (2), actuant sobre la representació de dimensió 2. Paulimatriser är tre 2x2-matriser, uppkallade efter fysikern Wolfgang Pauli, vilka är hermiteska och unitära. De kallas även för Paulis spinnmatriser eftersom de i kvantmekaniken används för att beskriva den egenskap hos elementarpartiklar, som är motsvarigheten till spinn i den klassiska fysiken. Paulimatriserna är σ1, σ2 och σ3 används för att beräkna partikelns spinn relativt de tre koordinataxlarna i vektorrummet R3. Tillsammans med enhetsmatrisen betecknad med σ0, och över kroppen R, spänner Paulimatriser upp det 4-dimensionella vektorrummet av komplexa hermiteska 2x2-matriser. 在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在（σz表像）可以寫成： 這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中，它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣I（有時候又被稱為為第零號包立矩陣σ0），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。 從量子力學的角度來看，埃爾米特矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σk, k= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看，σk , k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間ℝ3中第k個座標軸的投影分量。 Em matemática e em física matemática, as matrizes de Pauli formam um conjunto de três matrizes complexas 2x2 hermitianas e unitárias. Geralmente representadas pela letra grega sigma (σ), ou tau (τ) no contexto de simetrias de isospin. Elas são: . Operadores hermitianos representam observáveis na mecânica quântica, de forma que as matrizes de Pauli geram o espaço de observáveis do espaço de Hilbert de dimensão dois. Na obra de Pauli, as representam o observável correspondente à projeção do spin no eixo-k do espaço euclidiano tridimensional . Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej: W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem tj. Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta, Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín.Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2. Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид Вместо иногда используют обозначение и . Часто также употребляют матрицу совпадающую с единичной матрицей , которую также иногда обозначают как . Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом). 수학과 물리학에서 파울리 행렬(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 , , 로, 다음과 같다. 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다. La matricoj de Pauli estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko. La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj. Ilia simbolo estas la greka litero sigmo: (sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene: La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli, kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko. In de natuurkunde zijn de pauli-spinmatrices drie complexe Hermitische en unitaire 2×2-matrices. Ze worden meestal aangeduid met de Griekse letter (sigma), maar ook wel met de Griekse letter (tau), als ze in verband gebracht worden met isospin-symmetrieën. De pauli-spinmatrices zijn: Ze zijn genoemd naar de Oostenrijkse natuurkundige Wolfgang Pauli (1900-1958), die ze gebruikte in zijn theorie voor de kwantummechanische spin. Die Pauli-Matrizen (nach Wolfgang Pauli) sind spezielle komplexe hermitesche 2×2-Matrizen. Zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit bezeichnet wird, bilden sie sowohl eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen als auch eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2×2-Matrizen. Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingeführt, waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt. Матриці Паулі — три матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.

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Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes : (où i est l’unité imaginaire des nombres complexes). Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli. In de natuurkunde zijn de pauli-spinmatrices drie complexe Hermitische en unitaire 2×2-matrices. Ze worden meestal aangeduid met de Griekse letter (sigma), maar ook wel met de Griekse letter (tau), als ze in verband gebracht worden met isospin-symmetrieën. De pauli-spinmatrices zijn: Ze zijn genoemd naar de Oostenrijkse natuurkundige Wolfgang Pauli (1900-1958), die ze gebruikte in zijn theorie voor de kwantummechanische spin. De reële deelalgebra die wordt voortgebracht door de , dus de verzameling van reële of complexe lineaire combinaties van de pauli-spinmatrices, is de volledige verzameling van complexe hermitische 2×2-matrices. Deze algebra is isomorf met de reële clifford-algebra van de , zodat de pauli-spinmatrices voorzien in een expliciet isomorfisme. Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín.Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2. Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид Вместо иногда используют обозначение и . Часто также употребляют матрицу совпадающую с единичной матрицей , которую также иногда обозначают как . Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом). パウリ行列（パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。 添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。 上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。 في الفيزياء الرياضية والرياضيات، مصفوفات باولي هي مجموعة ثلاث مصفوفات (2×2) هيرميتية عقدية. وضعها باولي ولها تطبيقات عديدة ضمن ميكانيكا الكم. المصفوفات هي كالتالي : غالبا ما يتم إضافة مصفوفة رابعة : Paulimatriser är tre 2x2-matriser, uppkallade efter fysikern Wolfgang Pauli, vilka är hermiteska och unitära. De kallas även för Paulis spinnmatriser eftersom de i kvantmekaniken används för att beskriva den egenskap hos elementarpartiklar, som är motsvarigheten till spinn i den klassiska fysiken. Paulimatriserna är σ1, σ2 och σ3 används för att beräkna partikelns spinn relativt de tre koordinataxlarna i vektorrummet R3. Tillsammans med enhetsmatrisen betecknad med σ0, och över kroppen R, spänner Paulimatriser upp det 4-dimensionella vektorrummet av komplexa hermiteska 2x2-matriser. För den i kvantmekaniken använda spinnoperatorn gäller att Om Paulimatriser multipliceras med den imaginära enheten i, så spänner dessa tillsammans med σ0 upp en 4-dimensionell algebra W, över kroppen R, som är isomorf med kvaterniongruppen Q8. Gruppen av inre automorfier på W är isomorf med Kleins fyrgrupp. Ursprunget till den av Pauli 1925 utvecklade teorin om spinnmatriser var ett kvantmekaniskt experiment utfört 1921 av fysikerna Otto Stern och Walter Gerlach, där silveratomer sändes in i ett inhomogent magnetfält och vars resultat tolkades av holländarna Samuel Goudsmit och George Uhlenbeck. Матриці Паулі — три матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2. Em matemática e em física matemática, as matrizes de Pauli formam um conjunto de três matrizes complexas 2x2 hermitianas e unitárias. Geralmente representadas pela letra grega sigma (σ), ou tau (τ) no contexto de simetrias de isospin. Elas são: . Estas matrizes devem seu nome ao físico Wolfgang Pauli. Na mecânica quântica, elas ocorrem na equação de Pauli que descreve a interação do spin de uma partícula com um campo eletromagnético externo. Também representam os estados de interação entre dois filtros polarizados em polarizações horizontal/vertical, em 45 graus (direita/esquerda) e circular (direita/esquerda). Cada matriz de Pauli é hermitiana , e junto à matriz identidade I (algumas vezes representada por ), as matrizes de Pauli formam uma base (através de coeficientes reais) para o espaço vetorial das matrizes hermitianas 2x2. Assim, qualquer matriz hermitiana 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear de matrizes de Pauli, com todos os seus coeficientes sendo números reais. Operadores hermitianos representam observáveis na mecânica quântica, de forma que as matrizes de Pauli geram o espaço de observáveis do espaço de Hilbert de dimensão dois. Na obra de Pauli, as representam o observável correspondente à projeção do spin no eixo-k do espaço euclidiano tridimensional . As matrizes de Pauli (após multiplicação por para se tornarem anti-hermitianas), também geram transformações no sentido de álgebras de Lie: as , ao serem exponenciadas, geram o grupo SU(2), ou seja, é uma base da álgebra de Lie . A álgebra gerada por é isomórfica à álgebra de Clifford do , e a álgebra unital associativa gerada por iσ1, iσ2, iσ3 é isomórfica ao quaternião. La matricoj de Pauli estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko. La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj. Ilia simbolo estas la greka litero sigmo: (sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene: La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli, kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko. Iafoje oni uzis la "nulan" matricon de Pauli (t.e. la 2×2 identan matricon) kune kun la normalaj tri matricoj de Pauli. Tiam, la kvar matricoj formas bazon de la vektora spaco de tutaj memadjunktaj matricoj (inkludante nenulspurajn matricojn). Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej: W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem tj. Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta, * w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz * w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze In mathematical physics and mathematics, the Pauli matrices are a set of three 2 × 2 complex matrices which are Hermitian, involutory and unitary. Usually indicated by the Greek letter sigma (σ), they are occasionally denoted by tau (τ) when used in connection with isospin symmetries. These matrices are named after the physicist Wolfgang Pauli. In quantum mechanics, they occur in the Pauli equation which takes into account the interaction of the spin of a particle with an external electromagnetic field. They also represent the interaction states of two polarization filters for horizontal/vertical polarization, 45 degree polarization (right/left), and circular polarization (right/left). Each Pauli matrix is Hermitian, and together with the identity matrix I (sometimes considered as the zeroth Pauli matrix σ0), the Pauli matrices form a basis for the real vector space of 2 × 2 Hermitian matrices. This means that any 2 × 2 Hermitian matrix can be written in a unique way as a linear combination of Pauli matrices, with all coefficients being real numbers. Hermitian operators represent observables in quantum mechanics, so the Pauli matrices span the space of observables of the complex 2-dimensional Hilbert space. In the context of Pauli's work, σk represents the observable corresponding to spin along the kth coordinate axis in three-dimensional Euclidean space The Pauli matrices (after multiplication by i to make them anti-Hermitian) also generate transformations in the sense of Lie algebras: the matrices iσ1, iσ2, iσ3 form a basis for the real Lie algebra , which exponentiates to the special unitary group SU(2). The algebra generated by the three matrices σ1, σ2, σ3 is isomorphic to the Clifford algebra of , and the (unital associative) algebra generated by iσ1, iσ2, iσ3 is effectively identical (isomorphic) to that of quaternions. 在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在（σz表像）可以寫成： 這些矩陣是以物理學家沃爾夫岡·包立命名的。在量子力學中，它們出現在包立方程式中描述磁場和自旋之間交互作用的一項。所有的包立矩陣都是厄米矩陣，它們和單位矩陣I（有時候又被稱為為第零號包立矩陣σ0），的線性張成為2×2厄米矩陣的向量空間。 從量子力學的角度來看，埃爾米特矩陣（算符）代表可觀測的物理量，因此，σk, k= 0,1,2,3的線性張成代表所有作用在二維希爾伯特空間的物理量所形成的空間。從包立本人的的研究來看，σk , k=1,2,3所代表的物理量是自旋在三維歐幾里得空間ℝ3中第k個座標軸的投影分量。 수학과 물리학에서 파울리 행렬(Pauli matrix)은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 행렬이다. 기호는 , , 로, 다음과 같다. 파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다. 수학적으로 회전 대칭의 리 대수인 의 생성원이며, 양자역학에서 스핀이나 아이소스핀 등을 표현하는 데 쓰인다. 볼프강 파울리가 제이만 효과를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다. Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar: Nesou jméno Wolfganga Pauliho. Les matrius de Pauli deuen el seu nom a Wolfgang Ernst Pauli. Són matrius usades en física quàntica en el context del moment angular intrínsec o espín.Matemàticament, les matrius de Pauli constitueixen una base vectorial de l'àlgebra de Lie del grup especial unitari SU (2), actuant sobre la representació de dimensió 2. Die Pauli-Matrizen (nach Wolfgang Pauli) sind spezielle komplexe hermitesche 2×2-Matrizen. Zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit bezeichnet wird, bilden sie sowohl eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen als auch eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2×2-Matrizen. Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingeführt, waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt. In meccanica quantistica le matrici di Pauli sono un insieme di matrici 2×2 complesse hermitiane unitarie. Usualmente indicate dalla lettera greca (sigma), esse possono anche essere indicate con (tau) quando utilizzate in connessione con la simmetria di isospin. Devono il loro nome al fisico Wolfgang Pauli e sono così definite:

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