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| - Monoidální (tenzorová) kategorie je kategorie s (zvaným tenzorový produkt) a jednotkovým prvkem takovými, že existují přirozené isomorfismy , , ( se nazývá asociátor a levý (pravý) unitor). Monoidální kategorie umožňuje definici monoidálního objektu, jakým jsou například algebraické monoidy v kategorii Set. Endofunktory spolu se skládáním a identitou tvoří monoidální kategorii endofunktorů, přičemž monoidy v ní jsou monádami známými z funkcionálního programování. (cs)
- En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. (fr)
- 数学におけるモノイド圏（モノイドけん、英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏）あるいはテンソル圏（テンソルけん、英: tensor category）は、（自然同型の違いを除いて結合的な ⊗: C × C → C と、⊗ について（再び自然同型の違いを除いて）左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証した（一貫性条件、整合条件）に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。 モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においての数学的な基盤を与え、は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 (ja)
- 범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다. (ko)
- 張量範疇（tensor category），或曰幺半範疇（monoidal category）， 直覺地講，是個配上張量積的阿貝爾範疇（abelian category），可當作環的。 (zh)
- In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie , die mit einem zweistelligen Funktorund einem Einheitsobjektausgestattet ist. Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz , gibt; muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen und gibt, gegeben durch und . Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme: und (de)
- En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor ⊗ : C × C → C Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta. (es)
- In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category equipped with a bifunctor that is associative up to a natural isomorphism, and an object I that is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions, which ensure that all the relevant diagrams commute. In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category. (en)
- In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria munita di un che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutativi. In una categoria monoidale, gli analoghi degli usuali monoidi dell'algebra astratta possono essere definiti usando tali diagrammi commutativi. Infatti i monoidi classici sono esattamente gli nella categoria monoidale degli insiemi con il prodotto cartesiano come prodotto monoidale. (it)
- In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een ⊗ : C × C → C die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde , die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra. (nl)
- Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором ⊗ : C × C → C, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения. (ru)
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