In the mathematical fields of partial differential equations and geometric analysis, the maximum principle is any of a collection of results and techniques of fundamental importance in the study of elliptic and parabolic differential equations. In the simplest case, consider a function of two variables u(x,y) such that In the field of convex optimization, there is an analogous statement which asserts that the maximum of a convex function on a compact convex set is attained on the boundary.
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| - Maximumprinzip (Mathematik) (de)
- Principe du maximum (équations aux dérivées partielles) (fr)
- Principio del massimo (it)
- Maximum principle (en)
- 최대 원리 (ko)
- 最大値原理 (ja)
- Princípio do máximo (pt)
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| - 해석학에서, 최대 원리(最大原理, 영어: maximum principle)는 조화 함수가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 편미분 방정식의 해에 대해서도 성립한다. (ko)
- 数学における最大値原理（さいだいちげんり、英: maximum principle）とは、特定の楕円型および放物型の偏微分方程式の解が持つある性質のことを言う。大雑把に言うと、ある領域内でのある関数の最大値は、その領域の境界上に存在する、ということがこの原理では述べられている。特に、ある関数が領域の内部で最大値を取るのなら、その関数は一様に定数である、ということについて述べた原理は「強最大値原理」と呼ばれる。関数の最大値は領域の境界上で取られるが、領域の内部でも同様に起こり得る、ということについて述べた原理は「弱最大値原理」と呼ばれる。他に、ある関数をその最大に関して単純に境界で制限するような、さらに弱い最大値原理も存在する。 凸最適化における最大値原理では、コンパクト凸集合上の凸関数の最大はその境界上で達成される、ということについて述べられている。 (ja)
- Das Maximumprinzip ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die von Lösungen gewisser partieller Differentialgleichungen erfüllt wird. Gilt für eine Funktion das Maximumprinzip, so lassen sich selbst bei Unkenntnis dieser Funktion weitreichende Aussagen über deren Verhalten treffen. Grob gesprochen genügt eine Funktion genau dann dem Maximumprinzip, wenn sie ihr (globales) Maximum auf dem Rand ihres Definitionsbereiches annimmt. (de)
- In the mathematical fields of partial differential equations and geometric analysis, the maximum principle is any of a collection of results and techniques of fundamental importance in the study of elliptic and parabolic differential equations. In the simplest case, consider a function of two variables u(x,y) such that In the field of convex optimization, there is an analogous statement which asserts that the maximum of a convex function on a compact convex set is attained on the boundary. (en)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, le principe du maximum est une propriété des solutions de certaines équations aux dérivées partielles, de type elliptique ou parabolique qui dit qu'une fonction solution d'une telle équation sur un domaine atteint son maximum sur la frontière du domaine. De façon plus précise, le principe du maximum fort dit que si la fonction atteint son maximum à l'intérieur du domaine, elle est constante. Le principe du maximum faible dit que le maximum de la fonction est atteint sur la frontière du domaine, mais peut aussi éventuellement être atteint à l'intérieur du domaine. Un principe du maximum encore plus faible se contente simplement de borner la fonction par son maximum sur la frontière. (fr)
- In matematica, il principio del massimo è una proprietà che caratterizza la soluzione di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche o paraboliche. Stabilisce che il massimo di una funzione in una regione è assunto sul bordo della regione. Nello specifico, il principio del massimo "in forma forte" afferma che se una funzione raggiunge il massimo all'interno della regione allora la funzione è una funzione costante, mentre la versione "in forma debole" afferma che il massimo viene raggiunto sul bordo ed eventualmente ri-raggiunto all'interno. (it)
- Em matemática, o princípio do máximo é uma propriedade de soluções para determinadas equações diferenciais parciais dos tipos elípticas e parabólicas. Grosseiramente falando, ele afirma que o máximo de uma função em um domínio pode ser encontrado no contorno desse domínio. Especificamente, o princípio do máximo forte diz que se uma função atinge o seu máximo no interior do domínio, a função é uniformemente uma constante. O princípio do máximo fraco que diz que o máximo da função é a de ser encontrado no contorno, mas pode voltar a ocorrer no interior também. Outros, princípios máximos ainda mais fracos que existe apenas uma função vinculada, em termos de seu valor máximo no contorno. (pt)
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| - Das Maximumprinzip ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die von Lösungen gewisser partieller Differentialgleichungen erfüllt wird. Gilt für eine Funktion das Maximumprinzip, so lassen sich selbst bei Unkenntnis dieser Funktion weitreichende Aussagen über deren Verhalten treffen. Grob gesprochen genügt eine Funktion genau dann dem Maximumprinzip, wenn sie ihr (globales) Maximum auf dem Rand ihres Definitionsbereiches annimmt. Das starke Maximumprinzip sagt aus, dass eine Funktion, die ihr Maximum im Innern ihres Definitionsbereiches annimmt, konstant sein muss. Das schwache Maximumprinzip sagt aus, dass das Maximum zwar auf dem Rand angenommen wird, aber weitere Maximumsstellen im Innern des Definitionsbereiches existieren können. Darüber hinaus existieren weitere, noch schwächere Maximumprinzipien. In aller Regel gelten zum Maximumprinzip analoge Aussagen auch für das Minimum einer Funktion, diese werden dann als Minimumprinzip bezeichnet. Das Maximumprinzip kann nicht nur für reellwertige Funktionen, sondern auch für komplexwertige oder vektorwertige Funktionen definiert werden. In diesen Fällen betrachtet man das Maximum für den Betrag oder die Norm der Funktionswerte. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die Klasse der holomorphen Funktionen. (de)
- In the mathematical fields of partial differential equations and geometric analysis, the maximum principle is any of a collection of results and techniques of fundamental importance in the study of elliptic and parabolic differential equations. In the simplest case, consider a function of two variables u(x,y) such that The weak maximum principle, in this setting, says that for any open precompact subset M of the domain of u, the maximum of u on the closure of M is achieved on the boundary of M. The strong maximum principle says that, unless u is a constant function, the maximum cannot also be achieved anywhere on M itself. Such statements give a striking qualitative picture of solutions of the given differential equation. Such a qualitative picture can be extended to many kinds of differential equations. In many situations, one can also use such maximum principles to draw precise quantitative conclusions about solutions of differential equations, such as control over the size of their gradient. There is no single or most general maximum principle which applies to all situations at once. In the field of convex optimization, there is an analogous statement which asserts that the maximum of a convex function on a compact convex set is attained on the boundary. (en)
- En mathématiques, et plus précisément en analyse, le principe du maximum est une propriété des solutions de certaines équations aux dérivées partielles, de type elliptique ou parabolique qui dit qu'une fonction solution d'une telle équation sur un domaine atteint son maximum sur la frontière du domaine. De façon plus précise, le principe du maximum fort dit que si la fonction atteint son maximum à l'intérieur du domaine, elle est constante. Le principe du maximum faible dit que le maximum de la fonction est atteint sur la frontière du domaine, mais peut aussi éventuellement être atteint à l'intérieur du domaine. Un principe du maximum encore plus faible se contente simplement de borner la fonction par son maximum sur la frontière. Le principe du maximum pour les fonctions harmoniques est connu depuis les travaux de Gauss en 1839. En 1927, Eberhard Hopf généralise ce résultat en montrant qu'une fonction satisfaisant une inéquation aux dérivées partielles du second ordre d'un certain type sur un domaine de Rn et qui atteint son maximum à l'intérieur du domaine est nécessairement constante. La démonstration de Hopf s'inspire d'une idée simple qui l'amène à introduire une technique de comparaison qui conduira à une grande variété d'applications et de généralisations très importantes. Le principe du maximum est considéré comme le résultat classique et fondamental de la théorie des équations aux dérivées partielles de type elliptique ou parabolique. En optimisation convexe, le principe du maximum affirme que le maximum d'une fonction convexe sur un ensemble compact et convexe est atteint sur sa frontière. (fr)
- 해석학에서, 최대 원리(最大原理, 영어: maximum principle)는 조화 함수가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 편미분 방정식의 해에 대해서도 성립한다. (ko)
- In matematica, il principio del massimo è una proprietà che caratterizza la soluzione di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche o paraboliche. Stabilisce che il massimo di una funzione in una regione è assunto sul bordo della regione. Nello specifico, il principio del massimo "in forma forte" afferma che se una funzione raggiunge il massimo all'interno della regione allora la funzione è una funzione costante, mentre la versione "in forma debole" afferma che il massimo viene raggiunto sul bordo ed eventualmente ri-raggiunto all'interno. In ottimizzazione convessa, il principio del massimo stabilisce che il massimo di una funzione convessa su un insieme convesso compatto è raggiunto sulla frontiera. Le funzioni armoniche sono un tipico esempio in cui si applica il principio del massimo. Detta una funzione armonica definita su un insieme aperto connesso , se e: per tutti gli in un intorno di , allora è costante su . (it)
- 数学における最大値原理（さいだいちげんり、英: maximum principle）とは、特定の楕円型および放物型の偏微分方程式の解が持つある性質のことを言う。大雑把に言うと、ある領域内でのある関数の最大値は、その領域の境界上に存在する、ということがこの原理では述べられている。特に、ある関数が領域の内部で最大値を取るのなら、その関数は一様に定数である、ということについて述べた原理は「強最大値原理」と呼ばれる。関数の最大値は領域の境界上で取られるが、領域の内部でも同様に起こり得る、ということについて述べた原理は「弱最大値原理」と呼ばれる。他に、ある関数をその最大に関して単純に境界で制限するような、さらに弱い最大値原理も存在する。 凸最適化における最大値原理では、コンパクト凸集合上の凸関数の最大はその境界上で達成される、ということについて述べられている。 (ja)
- Em matemática, o princípio do máximo é uma propriedade de soluções para determinadas equações diferenciais parciais dos tipos elípticas e parabólicas. Grosseiramente falando, ele afirma que o máximo de uma função em um domínio pode ser encontrado no contorno desse domínio. Especificamente, o princípio do máximo forte diz que se uma função atinge o seu máximo no interior do domínio, a função é uniformemente uma constante. O princípio do máximo fraco que diz que o máximo da função é a de ser encontrado no contorno, mas pode voltar a ocorrer no interior também. Outros, princípios máximos ainda mais fracos que existe apenas uma função vinculada, em termos de seu valor máximo no contorno. Em , o princípio do máximo estabelece que o máximo de uma função convexa sobre um conjunto compacto convexo é atingido no contorno.Capítulo 32 (pt)
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